建设和使用冲床隔音房可能需要以下相关资质：

环保工程专业承包资质：这有助于确保隔音房的建设符合环境保护的要求和标准。

建筑工程施工资质：涉及到隔音房的施工建设，需要具备相应的建筑施工资质。

声学工程相关资质：因为冲床隔音房的核心功能是隔音降噪，具备声学工程方面的专业资质能保证其隔音效果达到预期。

安全生产许可证：保障施工过程中的安全操作。

此外，具体所需资质可能因地区、项目规模和相关法规的要求而有所不同。在进行冲床隔音房的建设和使用前，建议向当地的相关部门咨询，以确定确切的资质要求。